Clase del jueves (siento el retraso)

Dados dos figuras:

Son semejantes si y sólo si:

* Angulos iguales : Â =Â'

B^=B^'

Decimos que los segmentos a' b' c'... son PROPORCIONALES A a b c ... si a/a' = b/b' = c/c'

Para que dos figuras sean semejantes sus lados tienen que ser proporcionales

Llamamos RAZÓN de la semejanza a la razon a/a' = b/b'...

Nos dicen que son semejantes y obtenemos valores.

Ejemplo: Son semejantes (imganes de arriba)

Dar el balor de las incognitas

Semejantes -> Angulos iguales

-> Lados prop.

1º Decide A,B,C... a,b,c....

2º Ver quien es A', B', C'... a', b', c'...

3º Son semejantes ,entonces angulos iguales

Â=Â'-> x_70

^C= ^C-> 30º=k

^D=^D-> 120º=z

Ê=Ê-> 20=y

4º Como son semejantes , los lados son predeterminados:

a'/a = b'/b = c'/c= d'/d = e'/e Siempre tiene que haber una fracción con los dos números

16/8 =8/ l= O/1 = n/4= m/6 conocidos.

ESTO A SIDO TODO DE LA CLASE DEL JUEVES

ANDREA LAQUIDAIN

Fórmula para la suma de los ángulos de un polígono

Más o menos todos sabemos que la suma de los ángulos de un triángulo es 180º, pero esta relación se puede extender a cualquier polígono:

La suma de los ángulos de un polígono de n lados es (n-2)·180º.

La manera de poder comprobar esta afirmación es separar del polígono un triángulo, de manera que la suma de los ángulos del polígono es igual a la suma de los ángulos de la nueva figura.

Por ejemplo, partimos de un cuadrilátero:

(pinchar en el cuadro blanco si no se ve la animación)

Como se puede separar en dos triángulos, sus ángulos suman 2·180º.

Veamos ahora que sucede con un pentágono:

(pinchar en el cuadro blanco si no se ve la animación)

En este caso la suma de los ángulos es 2·180º+180º=3·180º.

Cada vez que añadimos un lado a un polígono es como si le "pegáramos" un triángulo, de manera que:

4 lados --> 2 triángulos

5 lados --> 3 triángulos

6 lados --> 4 triángulos

7 lados --> 5 triángulos

....

n lados --> (n-2) triángulos

Veamos como ejemplo este octógono, que se separa en 6 triángulos:

(pinchar en el cuadro blanco si no se ve la animación)

Como los ángulos de cada triángulo suman 180º, n lados --> (n-2) triángulos --> (n-2) ·180º.

Nuevo problema para realizar. Incluyo dos modelos (el problema es el mismo)

-->Problemas 2 en color <--

--> Problemas 2 en ByN <--

La hoja de problemas que di en clase:

--> Problemas <--

Clase de matemáticas 18/2/11

En la clase pasada empezamos tema nuevo. El tema 6 llamado Semejanza de figuras.

¿Cuándo dos figuras son semejantes?

Estas dos figuras son semejantes:



Y



Estas dos figuras no son semejantes:



Y



COMENTARIO:
_Una fotocopia ampliada o reducida da una figura semejante.
_Una foto de "algo" es semejante a ese "algo".

En palabras coloquiales, dos figuras son semejantes cuando:
-Son iguales visualmente.
-Puede variar su tamaño pero la FORMA es la misma.
-----------------------------
¿Cómo podemos asegurar matemáticamente que dos figuras tienen la misma forma?
-Podemos plantear como figura:



En matemáticas se simplifica, y entonces, utilizaremos polígonos.

EJEMPLO:

Esta figura no es semejante a esta:

El primer rectangulo mide 4cm(altura) y 6 cm(base).
El segundo rectangulo mide 5cm y 8 cm.





Si la altura del rectángulo midiera 2cm, ¿cuánto mediría la base?----3cm
Si la altura del rectángulo midiera 8 cm, ¿la base?-----12 cm

Esta propiedad de llama "LADOS PROPORCIONALES"

Dos figuras son semejantes si tienen los ángulos iguales.

EJEMPLO:



Y



No son semejantes porque no tienen los mismo ángulos.

NOTACIÓN Y VOCABULARIO TÉCNICO:
_Dos figuras semejantes también se llamas FIGURAS HOMÓLOGAS.

Si tenemos dos figuras semejantes llamamos HOMÓLOGOS a los que se corresponden. También ÁNGULOS HOMÓLOGOS para los ángulos que se corresponden.



Llamamos B a uno de los vértices y a a unos de los lados unidos por el vértice B.



Llamamos B al mismo vértice y a´ al mismo lado.

Para los lados se utilizan minúsculas(a, b, c...) y para los vértices mayúsculas(A, B, C...).
Para el ángulo en un vértice A--A(con gorrito).

Para referirnos al homólogo utilizamos ´.
a...a´ (a prima)
B...B´
B(gorrito)...B(gorrito)´

Y hasta aquí la clase del viernes. A ver si se ven bien las fotos, ¡que me ha costado lo suyo subirlas!

Paula Izco Oset 4ºA

Clase 4-2-2011

Problema:

En una excursion organizada hemos contratado taxis y microbuses. En cada taxi hay 4 pasajeros, y el alquiler de cada uno cuesta 25€. El alquiler del microbus es de 130€ y hay 20 pasajeros.¿Cuanto dinero nos hemos gastado por persona si son 108 pasajeros? En total hemos contratado 15 vehiculos.

1- x= Nº de TAXIS

y= Nº de MicroBus

2- Pers. en taxi= 4x

Pers. en mic= 20y

3- x+y=15

Son 108 pasajeros

4x+20y=108

4- 4x+20y=108

x+y=15

5- x= 108-20y 108-20y +y=15

4 4

108-20y+4y=60

-20y+4y=60-108

-16y=-48

y= =3

x=

y=3 x=12

Taxi=25€

Micro=130€

25*12+130*3=300+390=690

Solución=690€

clase de matemáticas día:15-2-2011

lo primero que hemos hecho al empezar la clase a sido corregir el problema de la bicicleta y el camión.

bicicleta: x/y

camión:500-x/y 130y=500

y=500/130=3,84(tiempo)

x=192km

y=500-192=308km

SOL: A las 13,84 horas se encuentran.

Después hemos hecho otro problema:

-Un vehículo sale de la ciudad A a 80km/h dirección este.Una hora mas tarde sale en su persecución una moto a 120km/h desde un pueblo que está a 200km al oeste de A. ¿A que hora los alcanza?

moto: 120= x/y otra opción: 120=x+200/y-1

80=x/y

coche:80= x-200/y+1

y este problema lo hemos dejado sin terminar ya que nos ha dicho Oliver que lo hagamos nosotros en casa.

Por ultimo hemos hecho otro problema relacionado con el mismo tema.

-Unos matones salen del pueblo B hacia Texas a buscar a C.N. El pueblo dista de 600 km. C.N. decide ir a buscarles a ellos, 20km/h más rápido que los matones. Salen a la vez y se encuentran a las 5 horas¿Aque velocidad iban los matones?

matones: x=y/5h 5x=y

C.N.: x+20= 600-y/5h 5x+100=600-y

5x+100=600-5x

100x=500

x=500/10=50

y= 250

SOL: los matones iban a una velocidad de 50km/h

Y esto es todo lo k hicimos en la clase del dia 15 de febrero de 2011.

advertencia: los dibujos no los e puesto ya que el texto se me borraba.

Este es Chuck Norris, por si alguien se había quedado con la duda:

Clase De Matemáticas 09/02/2010

Un granjero cuenta con un determinado, pero para nosotros desconocido número de jaulas para sus conejos. Si introduce 6 conejos en cada jaula quedan 4 plazas libres en una jaula. Si introduce 5 conejos en cada jaula quedan 2 conejos libres.
¿Cuántos conejos y jaulas tiene?

6 x



¿? ¿?

x---> Nº de conejos
y---> Nº de jaulas


Pensar:
...

1 Jaula---> 2 Conejos
2 Jaulas--> 8 Conejos
3 Jaulas--> 14 Conejos
4 Jaulas--> 20 Conejos

1 Jaula---> Conejos= 2
2 Jaulas--> Conejos=6+2
3 Jaulas--> Conejos= 6+6+2
22 Jaulas--> Conejos= 6+...+6+2
y Jaulas--> Conejos= 6+...+6+

x= 6(y-1)+2
____
____
... (Sobran 2 Conejos)

1 Jaula---> Conejos= 5+2
2 Jaulas--> Conejos= 5+5+2
3 Jaulas--> Conejos= 5+5+5+2
y Jaulas--> x= 5y+2

x=6(y-1)+2
x= 5y+2

5y+2=6(y-1)+2
5y+2=6y-6+2
-y=-6
y=-6/-1=6

y=6
x=32

Sol: Tiene 32 conejos y 6 jaulas.

Problemas Particulares:
-De velocidad y recorridos y demás.
Ejemplo; De pueblo A al pueblo B.
Hay 500 Km. Del A hacia el B sale una moto a 120Km/h, y del B hacia el A sale un camión a 80Km/h. ¿Dónde y cuándo se encuentran?

Sólo hay una cosa a tener en cuenta: ¿ Velocidad, Espacio, Tiempo?
Vel<---> Km/h
Esp<---> Km
Tiempo<---> h
Vel=Espac/Tiempo

PROBLEMAS:

En una excursion organizada hemos contratado taxis y mricrobuses. En cada taxi hay 4 pasajeros, y el alquiler de cada uno cuesta 25€. El alquiler del microbus es de 130€ y hay 20 pasajeros.¿Cuanto dinero nos hemos gastdo por persona si son 180 pasajeros? En total hemos contratado 15 vehiculos.

1º-

x= nº de taxis

y= nº de microbuses

2º

Personas en taxi= 4x

Personas en mic= 20y

3º

x + y = 15

4x + 20y = 108

A

{4x +20y = 108 x= 12

{-4x -4y = -60 y= 3

___________

/ +16y = +48

y=48/16=3

Taxi = 25€

Microbus = 130€

1º

x= nº personas taxi

y= nº personas microbus

3º

{x + y = 108

{x/4 + y/20 = 15

2º

nº de taxis= x/4

nº de mic= y/20

B

{-x -y = -108 x= 48

{5x + y = 300 y= 60

__________

4x / = 192

x= 192/4= 48

Taxi = 25€

Microbus = 130€

25 x 12 + 130 x 3 =

= 690€

25 x 12 + 130 x 3 =

= 300 + 390=

= 690€

Sol:690€

En una terraza hay taburetes y mesas. En total tenemos 23 "muebles" con 76 patas.(taburetes 3 patas,mesas 4 patas) ¿Cuantas mesas hay?

{x = nº de mesas {y = nº de taburetes

{x + y = 23 x= 7 nº de patas de mesas = 4x = 28

nº de patas de taburetes = 3y = 48

{4x + 3y = 76 y= 16

Sol: 7 mesas.

Calculadora para Sistemas

Editar las ecuaciones en la parte de la IZQUIERDA, de manera que queden

e1: --> la 1ª ecuacion <--

e2: --> la 2ª ecuación <--

-->Enlace a la calculadora de sistemas<--

En este applet se visualiza la solución geométrica como intersección de las dos rectas que definen cada ecuación, además de los valores numéricos de ésta. Os puede resultar útil para comprobar las soluciones de los sistemas (que se puedan resolver aquí no significa que no haya que ser capaces de resolverlos).

Os incluyo un ejemplo:
Si queremos resolver 3(x+1)+y-8=9 ; x+y=2, tendremos



Nota: Podemos escribir 3(x+1)+y-8=9 en el applet, lo que sucede es que él automáticamente lo simplifica.

Ejercicios del tema de ecuaciones

Os incluyo las hojas de ejercicios que os he ido dando, por si alguien pierde la hoja, necesita otra copia, etc. :

Ejercicio de Polinomios (sumas, productos, ...):

EjPol - 12/01/2010

Ejercicio Ecuaciones 2 (grado 1 y 2):

EjEc1 - 18/01/2010

Ejercicio Ecuaciones 2 (separar en varias ecuaciones aquellas que son un producto igual a 0):

EjEc3 - 19/01/2010

Sistemas lineales: Métodos de resolución:

EjSist1 - 26/01/2010

CLASE DE MATEMATICAS 2/2/10

El miércoles 3 de Febrero continuamos con los metodos de resolucion de sistemas.

SUSTITUCIÓN:

x+3y=4 ---> x=4-3y

3x+7y=10 y lo sustituimos en la otra ecuación.

3(4-3y)+7y=10

12-9y+7y=10

-2y=-2

y=1

x=4-3*1=1

x=1

REDUCCIÓN

La idea de éste es que podemos sumar ecuaciones.

=

El metodo de reducción consiste en sumar las 2 ecuaciones pasa que el resultado solo tenga una incógnita.

3x+2y=8

+ 2x+3 =7x+3y

________________

3x+2y+2x+3=8+7x+4y

Ejemplos:

3x-4y=8 10x+7y=5 3x+2y=6 multiplicamos x2 la primera

+ 2x+4y=2 + -10x+2y=12 -6x+5y=8

______________ ________________ 5x / =10 / +9y=17 6x+4y=12

+ -6x*5y=8

_______________

/ +9y=20

si no hay coeficientes exactos los buscamos (multiplicando).

COSAS RARAS:

Las cosas "raras" que pueden aparecer al resolver sistemas.

x+5y=7 ----> x=7-5y

-3x-15y=4

-3(7-5y)-15y=4

-21+15y-15y=4

0y=25

El sistema no tiene ninguna solución.

-3x+5y=6

+6x-10y=12

-6x+10y=12

+ 6x -10y=12

_____________
0x 0y=0

El sistema tiene infinitas soluciones.

x-2y=3 -----> x=3+2y

2x-4y=6

2(3+2y)-4y=6

6+4y-4y=6

6=6

0=0

El sistema tiene infinitas soluciones.

-->Siempre, si lo que nos queda es verdad , tiene infintas soluciones. Y si tiene una solución que no es cierta como 6=2, es que no tiene ninguna solución.

Oliver mando los 3 primeros sistemas de la hoja de ejercicios que nos dió.

Raquel luque 4ºB

Clase de matemáticas 1/2/10

Primero vimos clasificación de sistemas:
ax+by=c
Ax+By=C

3 Posibilidades de soluciones:

1 Solución

0 Soluciones

Inf. Soluciones

Y comparando los coeficientes sabemos el nº de soluciones.Para clasificar un sistema por el nº de soluciones:
·1º escribirlo ordenado
·2º Comparar coeficientes
Ejemplo: Clasificar:

3(x+2y)-5x=7
-2x+3y-7/2=0

Lo ordenamos:
3(x+2y)-5x=7
3x+6y-5x=7
-2x+6y=7

-2x+3y-7/2=0
-4x+6y-7=0
-4x+6y=7

-2x+6y=7--->-2/-4=+6/+6 NO
-4x+6y=7--->

Resolución de sistemas

Sistema
2 ecuaciones
2 incógnitas
-----------
·Igualación
·Sustitución
·Reducción
--------------
Una ecuación con
sólo una incógnita
--------------
Resolvemos esa
incógnita sustituyendo
en cualquier ecuación
--------------
Obtener la otra
incógnita


Igualación

x-3y=7-------> x=7+3y------>7+3y=14-4y
x+4y=14-----> x=14-4y----->

3y+4y=-7+14
7y=+7
y=7/7=1 x=10