El PDF con las instrucciones para las prácticas con funciones:

Pract-Funciones

Clase 31 de Mayo

¿Cómo trabajamos el dominio de una función?
-->Fórmula: f(x)=3/x-1 +2 Dom= R – [1]
-->Gráfica:


Dom=R –[-1,2]




Relacionaremos fórmulas con gráficas a partir de su dominio.
Ver ejercicio 2) de la hoja “Ejercicios de funciones”
Utilizaremos el dominio:

*

D= R - [0]
G(X)=1/x

*

D= R-[2,5]
F(X)= 1/ (x-2'5)


*

D= R [-2'5,2'5]
h(x)= 1/(x-2'5)(x+2'5)

FUNCIONES PARES E IMPARES*

Definición: La función f(x) se llama Par si cumple f(-a),va€R
Ejemplos: f(x)=x2 +2
f(3)=32+2=11

Dos caracteristicas de las funciones pares:
*La gráfica de una función par es simétrica respecto al eje vertical.
*Fórmula: Todas las potencias de x son pares incluyendo x0, es decir,números sueltos.

Ejercicio:Decir cuales son pares:
f(x)=3x6+2x4-2 -->SI
g(x)=4X6-3X5+X2-->NO
h(x)= 3x6+2x2/x4+5-->SI
m(x)=2x2+2x+2-->NO

Definicion:Decimos que una funcion es impar si
f(-a)=-f(a) Va€R
Si f(x) es impar y f(4)=7 entonces f(-4)=-7

Funciones particulares

Función afín : ( Polinómica de grado 1)
f(x)= ax+b a,b E \mathbb R
Ejemplo: f(x)= 4x+1
g(x)=-3x+2
Gráfica: Es una recta => Calculando 2 imágenes,tenemos toda la gráfica




Utilizaremos las gráficas de funciones afines para resolver problemas.
Problema: Dos ofertas de móvil:

Companía A
e.ll: 15 cent
9 cent/ min

Companía B
e.ll 10
15 cent/ min

¿Cuál es más barata...
a) Para 1 min?
b) Para 2 min?
c) ¿En qué tramos de tiempo es cada una más barata?

Los ejercicios de áreas:

Ej-Áreas

Los ejercicios de volúmenes:

Ej-Volúmenes

Los ejercicios de funciones 3:

Ej-Func-

El ejercicio de funciones 4:

Ej-Func4

Por si alguien necesita las imágenes, se pueden extraer del doc.

clase del 24-5-2011

1- fórmula-tabla: calcular imágenes

ej:Hacer una tabla del 0 al 4 con paso 1 de f(x)= 3x (de1 en 1)

f(0)=3·0=0 f(2)=3·2=6

f(1)=3·1=3 .........

2- TABLA-FÓRMULA: NO SE PUEDE

3-TABLA-GRÁFICA: DE LA TABLA SE PASAN LAS COORDENADAS A LA GRAFICA REPRESENTADA COMO F(X) HACIA ARRIBA Y X EN LA RECTA. DE HAY SE SACAN LOS DISTINTOS PUNTOS POR LOS QUE LUEGO SE TRAZARÁ UNA LINEA TRAVÉS DE ELLOS CON LA QUE SE DARA POR TERMINADA LA REPRESENTACIÓN EN LA GRÁFICA.

4-GRÁFICA-TABLA:LEER LOS VALORES DE LA GRÁFICA: MIRAR DONDE ESTAN COLOCADOS LOS PUNTOS EN LA GRÁFICA Y DE HAY PASARLOS A UNA TABLA SEGUN SEAN F(X) O X.

5-FÓRMULA-GRÁFICA: FÓRMULA-GRÁFICA-TABLA.

6-GRÁFICA-FÓRMULA: NO SE PUEDE.

Clase de matemáticas 27 de abril del 2011

La clase del viernes la empezamos resolviendo unas dudas sobre las hojas de ejercicios. La continuamos haciendo un breve resumen sobre lo visto anteriormente, que es el siguiente:

_FÓRMULA: Divisiones por 0.
Números Reales -{a, b, c,...}

_GRÁFICA: ¿Cuál es su dominio?
Dominio: parte del eje horizontal que tiene gráfica por encima o debajo.



D=[2, infinito)
= {x/x>-2}



D= Números Reales -{2}

Y hasta aquí la clase de matemáticas del viernes.

Paula Izco Oset 4ºA

CLASE 13 DE ABRIL.

CLASE DIA 13 DE ABRIL
Resolver un triángulo es calcular todos sus lados & todos sus ángulos.
Ejemplos:
Tenemos que calcular x,y,z.
¿x? Suma son 180 grados x=60 grados
¿y?,¿z? 1ªMarcar hipotenusa.
2ºDecidir que ángulo y marcar
*Enfrente
*Pegado
Sen30º= e/h e= sen30ºx h. z=4
Cos30º=y/8  y=8xCos30º. Y=6,92



x= 180º-90º-43º= 47
Cos43º= 3/z zxCos43º= 3
Z=3/Cos43º=3/0,731= 4,10
Tg43º= y/3  y=3xTg43º= 2,80

x=180º-90-47=43º
Sen47º=25/y Y= 15/Sen47º= 20,05
Tg47º=15/z Z= 15/Tg 47º = 13.98



x=180º-42º-30º= 108º
Vamos a incluir la altura a, & obtenemos dos triángulos rectángulos.
Sen42º=a/7. A=7xSen42º A= 4,68
Cos42º=k/7 k=7xcos42º K=5,20
Sen30º=4,68/y Y=9,36
Tg30º=4,68/l L=4,68/TG30º=8,11










RAZONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS.
Hasta ahora, conociendo ángulos obtenemos lados. Veremos como, conocidos los lados, conoceremos los angulos.
EJEMPLO: resolver.
x2=102+72
X=raíz de 149= 12,21
Sen y=7/12,21= 0,57
*El seno de un ángulo desconocido “y” es 0,57
Sen-1 0,57=34,75º

¿Y si no conocemos x?
tg y= 7/10
Tg-1 0,7 =34,99º
Z=180º-90º-34,99º=55,01º

sen y = 7/12 = 0,58
Sen y= 0,58 cosx=7/12 = 0,58
Sen-1 0,58 =y cos-1 0,58 =x
X= 54,55º

MAIALEN DE PEDRO.

Clase de Matemáticas

Como el 7 no pertenece solo a uno de los t.rectángulos,entonces no se puede resolver ninguno por separado.










sen35=a/y
cos35º=x/y
tg35º= a/x










sen60º=a/Z
cos60º=7-x/z
tg60º=a/7-x









En vez de tomar 1 ecuación para resolver una incógnita,tomamos 2 ecuaciones para resolver 2 incógnitas.
tg35º=a/x
tg60º=a/7-x => para resolver a y x

0'7=a/x
1'73=a/7-x

0'7x=a
(7-x).1'73=a

(7-x) · 1'73 = 0'7x
12'11 - 1'73x= 0'7x
12'11= 1'73x + 0'7x
12'11=2'43x
x=12'11/2'43 = 4'98
a=0'7 · 4'98 = 3'49

Sabiendo x y a resolvemos cada triángulo
cos35º=4'98/y
sen60º=3'49/z



tg20º=a/x => 0'36=a/x => 0'36x=a
tg30º=a/x-6 => 0'57=a/x-6 => 0'57 · x-6=a

0'36 · x= 0'57 · (x-6)
0'36 · x= 0'57x - 3'42
3'42= 0'57x - 0'36x
3'42=0'21x
x=3'42/0'21= 16'28
a=5'86

Ultima clase de matemáticas antes de semana santa.

2º Metodo Calculadora

SIN 3 2 = 0,5299... Tiene que estar en modo DEG

3 2 SIN 0.5299....

3º Metodo

.Preguntar a alguien que la haya calculado con mucho cuidado Tabla

.resolver un triangulo es calcular todos sis lados y todos sus ángulos

Ejemplo: Resolver

Tenemos que clacular x , y , z

x-> Suma son 180 grados x= 60

y,z-> 1º Marcar hipotenusa z= 0'5.8=4 y= 6'92

2º decidir angulo y marcar (enfrente pegado)

sen 30= e/h sen30:h

cos 30= p/h 8.cos 30

( sen 43 Y/Z) No no sirve porque hay dos incognitas

cos 43= 3/Z -> Z.cos 43= cos 43

Z = 3/cos43 = 3/0'731= 4'10

X= 180-90-43=47

X=47 Y 2'80 tg43= Y/3 -> Y= 3.tg 43=2'20

X= 180-97-47=43 Y= 20´5 Z= 13'98

sen 47= 15/Y Y= 15/ sen 47=20'5

(cos 47 = Z/Y) No nos sirve

tg 47 = 15/z Z= 15/tg 47 = 13'98

Y esto fue todo lo de la clase

Andrea Laquidain Garcia

Clase de matemáticas 12 de abril del 2011

Empezamos la clase haciendo un breve resumen sobre lo visto en la anterior clase: las razones trigonométricas.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS.
_Razones: "división".
_Trigonométricas: relativo a los triángulos.



Y



Tienen el mismo ángulo "alfa".
Las razones son iguales a:b = a´:b´

Vamos a establecer una relación entre ángulos....razones
23º ....0,25
Vamos a trabajar con 3 razones concretas, que llamaremos SENO, COSENO Y TANGENTE.
Definición: Partimos de un triángulo rectángulo CUALQUIERA con un ángulo "alfa".



Definimos el "seno de "alfa"" como:
sen"alfa"= e:h (enfrente:hipotenusa)
Definimos el "coseno de "alfa"" como:
cos"alfa"=p:h (pegando:hipotenusa)
Definimos la "tangente de "alfa"" como:
Tan"alfa"=e:p (enfrente:pegando)

Ejemplo: Calcular
¿sen30º?.....es un número.



sen30º= 3,5:6= 0,58

Se define sen30º=0,5 sin necesidad de dibujar el triángulo.

¿cos30º?
cos30º=5:6=0,83 (raíz cuadrada de 3:2)

¿tg30º?
tg30º=3,5:5=o,7

La idea es que para cualquier ángulo "alfa" conoceremos sen"alfa", cos"alfa" y tg"alfa" sin necesidad de dibujar el triángulo.

1er MÉTODO: CÓMO CONOCER LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS.



2º MÉTODO: CALCULADORA

¿sen 32º?

sin 32 = 0,5299
32 sin = o,5299

Tiene que estar en modo DEG.

Y hasta aquí llegó la clase del martes. Espero que salgan las fotos bien...aunque no creo jeje.

Paula Izco Oset 4ºA

vamos a trabajar con triángulos rectángulos. Al lado opuesto al angulo recto se le llama HIPOTENUSA. A los otros 2 CATETOS.

3(2) + X(2) =5(2)

X(2)=16

X=4

conocemos lados---------obtenemos lados.

conocemos ángulos----------obtenemos ángulos.

idea principal:

si tomamos 2 triangulos r con los mismos ángulos.

a´/a=b´/b y podemos hacer b/a=b´/a´

en un triangulo como estos podemos calcular los lados b/a si tomamos cualquier otro triángulo.

La misma razón b´/a´ vale igual que en el primero.

Fijado alfa en el triángulo las razones entre los lados son siempre las mismas.

ejercicio: Dibuja 2 triángulos r con un ángulo de 45º.

1,41_1,7/1,2=2,2/1,6=1,375

30º +90º+y = 180º

y=60º

El fichero InicioActividad2 necesario en la segunda actividad con el Geogebra:

-->InicioActividad2<--

Practicas en el aula de informática

Se seguirá el siguiente guión:

-->Actividades con Geogebra <--

Las actividades se deben enviar por correo a

matematicas2010oliver@gmail.com

Enviarlas nada más hacerlas, para evitar problemas luego ...

ENTRADA SUBIDA POR LEIRE OLMO.

Semejanza de Triángulos

Cualquier polígono se puede dividir

en

triángulos Si los ∆

son semejantes ↔ los polígonos también.

NOTACIÓN

¿DATOS?

3LADOS -> a, b, c

3ANGULOS -> Â, ^B, ^C

Misma letra Vértice y su lado OPUESTO;

SOLO APLICABLE EN ∆

EJEMPLO

Un ∆ tiene 6 datos.

¿Hacen falta todos para determinarlo?

Entonces, ¿Cuáles son necesarios?

¿1 Lado?

¿2 Lados?

¿3Lados? 5,3,4

¿1 Angulo?

¿2Ángulos?

¿3Ángulos?

Con tres ángulos (dos ángulos) obtenemos triángulos semejantes pero no uno único.

¿1 lado y 1 ángulo?

¿1 lado y 2 ángulos?

¿2lados y 1 ángulo?

Si nos dan 2 lados y un ángulo, nos están dando todos los datos. Con 1 lado y 2 ángulod también.

RESUMIENDO.

CON 3 DATOS (Y AL MENOS UNO 1 LADO) QUEDA DETERMINADO UN ÚNICO TRIANGULO.

CON 3 DATOS, QUEDA DETERMINADO SALVO SEMEJANZA.

CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

(UN TRIÁNGULO SE PUEDE DEFINIR CON 3 DATOS)

DADOS.

Si  = Â’ = ^B =^B’ ( y ^C =^C’) entonces ABC∆ y A’B’C’∆ son SEMEJANTES.

Si a’/a =b’/b =c’/c entonces ABC∆ y A’B’C’∆ Son SEMEJANTES.

Si  = Â’ y b’/b =c’/c entonces ABC∆ Y A’B’C’∆ son SEMEJANTES.

NOTA: SI ABC∆ Y A’B’C’∆ SON SEMEJANTES ENTONCES:
 =’
B = B’ y ‘a/a = b’/b = c’/c
C = C’

RESUMEN Y APLICACIÓN.

¿Se puede calcular x e y?

1er paso: Ver nombres (A, B, C,)

Como  = Â’ =89º
b’/b = c’/c ya que 6/3 =10/5 = ( =2)
entonces por los criterios de semejanza ABC sem. A’B’C’ y
B =B’ à 23º = y
C =C’ à
a’/a = 2 x/10 =2

X = 2º

LOS CRITERIOS DE SEMEJANZA también sirven para, afirmar que DOS TRIAINGULOS, NO SON SEMEJANTES.

ENTRADA ANTIGUA

PROBLEMAS

PROBLEMA

Juan tiene 15 años menos que Pedro, y Mateo tiene el doble de años que Juan. Dentro de 5 años tendrá el doble de años que Juan. Pedro es moreno, y Mateo Rubio. ¿De qué color tiene el pelo el mayor?

PASOS AL RESOLVER UN PROBLEMA.

1. Decidir quienes son las incógnitas.

X à “………….”

Y à “………….”

CONSEJOS

è PUEDE SER UTIL VER LO QUE PREGUNTAN

è PROPIEDAD CUANTITATIVA (NUMEROS)

X à EDAD DE JUAN
Y à EDAD DE PEDRO

2. Dar como expresión algebraica, “todos” los datos numéricos del problema.

Edad Mateo à 2·X

Pedro dentro de 5 años à y+5

Juan dentro de 5 años à x+5

3. Escribir las ecuaciones. (buscar dos relaciones no utilizadas en el paso 2)

Juan tiene 15 años menos que Pedro

X= y -15

Dentro de 5 años, Pedro tiene el doble de años que Juan.

Y +5= 2·(x+5)

X = y -5

4. Resolver el sistema (obtenemos la sol. Numérica)

Y +5 = 2(x+5)

Y +5 = 2x +10 (x=y-15)

Y +5 = 2(y-15) +10

Y +5 = 2y -30 +10

Y -2y = -5 -20

-1y = -25

Y=-25/-1= +25

Solución numérica: X=10; Y=25

5. A partir de la solución numérica (x=…..; y=…..) obtenemos la solución del problema.

à Todos los datos del 1 y 2 calcularlos.

X à edad de Juan.
Y à edad de Pedro.
2X à edad de Mateo.
X+5à edad de Juan dentro de 5 años.
Y+5 à edad de Pedro dentro de 5 años.

(Pregunta ¿De qué color tiene el pelo el mayor?)

SOL: MORENO

Tengo billetes de 20€ y de 50€. En total tengo 6 billetes y 180€ ¿Cuántos billetes tengo de 20€?

1. X à Número de billetes de 20€

Y à Número de billetes de 50€

2. Dinero en billetes de 20€ à 20·x

Dinero en billetes de 50€ à 50·y

3. X +y = 6
20·x +50·y =180

4. -20x – 20y = -120
20x + 50y =180
/ +30y = 60

Y = 60/30 = 2

X=4; Y=2

5. SOL: 4

Clase De Matemáticas 17/03/2011

IGUALDAD DE ÁNGULOS

¿Cuando podemos asegurar que dos ángulos son iguales, sin conocer sus medidas?

· Ángulos opuestos:

· Lados paralelos (o algún lado común):

· Lados perpendiculares

 = Â'

· Ejercicio "Ejemplo de todo" I

1.- Buscar los posibles triángulos semejantes

2.- Queremos afirmar que son semejantes: elegir criterio (tres ángulos).

Si no conocemos la medida:

3.- Â = Â' --> Son opuestos

lados.

^B = ^B' --> por paralelos.

(^C = ^C')

Entonces por el criterio de sem ABC sem A'B'C' y a'/a = b'/b = c'/c

x/10 = b'/b = 8/6 --> x/10 = 8/6 --> x = 8·10/6 = 40/3 x = 13.3