ENTRADA SUBIDA POR LEIRE OLMO.

Semejanza de Triángulos

Cualquier polígono se puede dividir

en

triángulos Si los ∆

son semejantes ↔ los polígonos también.

NOTACIÓN

¿DATOS?

3LADOS -> a, b, c

3ANGULOS -> Â, ^B, ^C

Misma letra Vértice y su lado OPUESTO;

SOLO APLICABLE EN ∆

EJEMPLO

Un ∆ tiene 6 datos.

¿Hacen falta todos para determinarlo?

Entonces, ¿Cuáles son necesarios?

¿1 Lado?

¿2 Lados?

¿3Lados? 5,3,4

¿1 Angulo?

¿2Ángulos?

¿3Ángulos?

Con tres ángulos (dos ángulos) obtenemos triángulos semejantes pero no uno único.

¿1 lado y 1 ángulo?

¿1 lado y 2 ángulos?

¿2lados y 1 ángulo?

Si nos dan 2 lados y un ángulo, nos están dando todos los datos. Con 1 lado y 2 ángulod también.

RESUMIENDO.

CON 3 DATOS (Y AL MENOS UNO 1 LADO) QUEDA DETERMINADO UN ÚNICO TRIANGULO.

CON 3 DATOS, QUEDA DETERMINADO SALVO SEMEJANZA.

CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

(UN TRIÁNGULO SE PUEDE DEFINIR CON 3 DATOS)

DADOS.

Si  = Â’ = ^B =^B’ ( y ^C =^C’) entonces ABC∆ y A’B’C’∆ son SEMEJANTES.

Si a’/a =b’/b =c’/c entonces ABC∆ y A’B’C’∆ Son SEMEJANTES.

Si  = Â’ y b’/b =c’/c entonces ABC∆ Y A’B’C’∆ son SEMEJANTES.

NOTA: SI ABC∆ Y A’B’C’∆ SON SEMEJANTES ENTONCES:
 =’
B = B’ y ‘a/a = b’/b = c’/c
C = C’

RESUMEN Y APLICACIÓN.

¿Se puede calcular x e y?

1er paso: Ver nombres (A, B, C,)

Como  = Â’ =89º
b’/b = c’/c ya que 6/3 =10/5 = ( =2)
entonces por los criterios de semejanza ABC sem. A’B’C’ y
B =B’ à 23º = y
C =C’ à
a’/a = 2 x/10 =2

X = 2º

LOS CRITERIOS DE SEMEJANZA también sirven para, afirmar que DOS TRIAINGULOS, NO SON SEMEJANTES.

ENTRADA ANTIGUA

PROBLEMAS

PROBLEMA

Juan tiene 15 años menos que Pedro, y Mateo tiene el doble de años que Juan. Dentro de 5 años tendrá el doble de años que Juan. Pedro es moreno, y Mateo Rubio. ¿De qué color tiene el pelo el mayor?

PASOS AL RESOLVER UN PROBLEMA.

1. Decidir quienes son las incógnitas.

X à “………….”

Y à “………….”

CONSEJOS

è PUEDE SER UTIL VER LO QUE PREGUNTAN

è PROPIEDAD CUANTITATIVA (NUMEROS)

X à EDAD DE JUAN
Y à EDAD DE PEDRO

2. Dar como expresión algebraica, “todos” los datos numéricos del problema.

Edad Mateo à 2·X

Pedro dentro de 5 años à y+5

Juan dentro de 5 años à x+5

3. Escribir las ecuaciones. (buscar dos relaciones no utilizadas en el paso 2)

Juan tiene 15 años menos que Pedro

X= y -15

Dentro de 5 años, Pedro tiene el doble de años que Juan.

Y +5= 2·(x+5)

X = y -5

4. Resolver el sistema (obtenemos la sol. Numérica)

Y +5 = 2(x+5)

Y +5 = 2x +10 (x=y-15)

Y +5 = 2(y-15) +10

Y +5 = 2y -30 +10

Y -2y = -5 -20

-1y = -25

Y=-25/-1= +25

Solución numérica: X=10; Y=25

5. A partir de la solución numérica (x=…..; y=…..) obtenemos la solución del problema.

à Todos los datos del 1 y 2 calcularlos.

X à edad de Juan.
Y à edad de Pedro.
2X à edad de Mateo.
X+5à edad de Juan dentro de 5 años.
Y+5 à edad de Pedro dentro de 5 años.

(Pregunta ¿De qué color tiene el pelo el mayor?)

SOL: MORENO

Tengo billetes de 20€ y de 50€. En total tengo 6 billetes y 180€ ¿Cuántos billetes tengo de 20€?

1. X à Número de billetes de 20€

Y à Número de billetes de 50€

2. Dinero en billetes de 20€ à 20·x

Dinero en billetes de 50€ à 50·y

3. X +y = 6
20·x +50·y =180

4. -20x – 20y = -120
20x + 50y =180
/ +30y = 60

Y = 60/30 = 2

X=4; Y=2

5. SOL: 4